线性代数的本质

1向量是什么

线性代数中最基础最根源的部分就是向量

  • 从物理角度看,向量是空间中的箭头,决定一个向量的是长度和方向,可以任意平移
  • 从程序角度,向量是有序的数字列表

向量加法和数乘贯穿线性代数始终

向量几何意义

  • 二维坐标系中的一个箭头,从原点出发

  • 向量是有序的数字列表,分别用x,y,z表示向量在坐标系箭头所在那一个点,一般我们竖着写,用方括号包起来:

[xyz]\left[\begin{matrix} x\\y\\z \end{matrix} \right]

向量加法和向量数乘

向量加法

存在两个向量,为了相加,将第二个向量平移,使得它的起点与第一个向量终点重合,然后画一个从第一个向量起点到第二个向量终点的箭头,就是他们的和。

为什么这样定义???

  • 如果将向量看做在空间中的运动,先从向量1方向运动一段距离,再向向量2方向移动,总体效果与沿着这两个向量和方向运动一样。当然,顺序换一换也是一样。

  • 从数值计算的角度而言,我们可以这样理解。先沿着x轴运动1,再沿y轴运动2,然后x轴运动3,y轴-1。

向量数乘

向量长度的伸缩

  • 从数值计算的角度,伸缩等于将x,y分量分别相乘

线性代数为数据分析提供了一条将大量数据列表概念化可视化的途径,另一方面,给计算机图形程序员提供了一种语言,通过处理数字来描述并操作空间

2向量线性组合、张开空间、基

在xy坐标系中,有两个特别的向量,单位向量i,j。

i^j^\hat i \hat j

可以将向量看成是单位向量经过伸缩后求和的结果。因此向量和可以看成是单位向量伸缩求和。

由此引申出一个问题:

我们完全可以选择不同的基向量,获得一个合理的新坐标系,比如两个不垂直的基向量完全可以通过数乘求和获得所有向量

目前我们需要知道的是,当我们用数来描述向量的时候,都依赖我们正在使用的基,两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合。

av+bwa \vec v + b \vec w

线性这个词是什么意思?

可以这么理解:如果上面公式中a,b两个标量固定其中一个,逐渐改变另外一个,所产生的向量的终点最终会绘制出一条直线。

当同时变化两个标量,最终能到达平面内所有的点,即张开平面。(这两个向量同方向例外)

本质上是在问:仅通过向量加法和向量数乘这两种基本运算,能获得可能向量的集合是什么

张成空间

如上所述,两个向量线性组合会张成平面,那么引入第三个向量,就可以张成空间。但是如果第三个向量或者有某两个向量重合,那么就会受困于这一平面,无法张开空间,即这一组向量中至少有一个是多余的,没有对张开空间做出任何贡献。

线性相关

另一方面,如果所有向量都给张成空间添加了新的维度,那么就是线性无关。

综上所述:

空间的一组基的严格定义是这样的:张成该空间的一个线性无关向量的集合

3矩阵与空间变换

Author: sumshare
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